Comme pour les droits des agents, c’est la loi n° 83-634 du 13 juillet 1983 portant droits et obligations des fonctionnaires (loi dite loi Le Pors) qui est le texte juridique de référence :
La loi n° 83-634 du 13 juillet 1983 sur Légifrance
Les articles mentionnés sur cette page sont ceux de cette loi. Nous ne mentionnons ici que les principales dispositions.

1. Le non-cumul
Article 25
  Le fonctionnaire doit se consacrer uniquement à sa mission ; interdiction de cumul avec un autre emploi privé ou public.
  Il y a quelques exceptions : encadrement d’enfants (par exemple durant les vacances scolaires), cours particuliers, activités liées à l’art, à la culture, au journalisme (piges), etc.

La production des œuvres de l’esprit au sens des articles L. 112-1, L. 112-2 et L. 112-3 du code de la propriété intellectuelle s’exerce librement, dans le respect des dispositions relatives au droit d’auteur des agents publics et sous réserve des dispositions de l’article 26 de la présente loi.

Il s’agit notamment des œuvres artistiques, littéraires, scientifiques, etc.

Les fonctionnaires et agents non titulaires de droit public peuvent toutefois être autorisés à exercer, dans des conditions fixées par décret en Conseil d’État, à titre accessoire, une activité, lucrative ou non, auprès d’une personne ou d’un organisme public ou privé, dès lors que cette activité est compatible avec les fonctions qui leur sont confiées et n’affecte pas leur exercice.

Plus d’informations :
Fonction publique : cumul d’activités d’un agent à temps complet sur service-public.fr

2. L’obligation de discrétion personnelle
Article 26

Les fonctionnaires doivent faire preuve de discrétion professionnelle pour tous les faits, informations ou documents dont ils ont connaissance dans l’exercice ou à l’occasion de l’exercice de leurs fonctions. En dehors des cas expressément prévus par la réglementation en vigueur, notamment en matière de liberté d’accès aux documents administratifs, les fonctionnaires ne peuvent être déliés de cette obligation de discrétion professionnelle que par décision expresse de l’autorité dont ils dépendent.

Il ne s’agit pas d’un « devoir de réserve », qui n’existe pas pour la plupart des agents : nous avons le droit d’exprimer nos opinions politiques et syndicales en dehors de la présence des élèves, à l’intérieur comme à l’extérieur de l’établissement.
Sur le plan jurisprudentiel existe l’obligation de réserve qui s’applique principalement pour les personnels de l’encadrement.

3. L’obligation d’information au public
Article 27

Les fonctionnaires ont le devoir de satisfaire aux demandes d’information du public dans le respect des règles mentionnées à l’article 26 de la présente loi.

4. La responsabilité de l’exécution des tâches
Article 28

Tout fonctionnaire, quel que soit son rang dans la hiérarchie, est responsable de l’exécution des tâches qui lui sont confiées. Il doit se conformer aux instructions de son supérieur hiérarchique, sauf dans le cas où l’ordre donné est manifestement illégal et de nature à compromettre gravement un intérêt public.
Il n’est dégagé d’aucune des responsabilités qui lui incombent par la responsabilité propre de ses subordonnés.